** L'araignée fait son chemin

Inspiré du DNB Septembre 2022 Polynésie

Un poteau électrique vertical \([\text{BC}]\) de \(5{,}2 \text{ m}\) de haut est retenu par un câble métallique \([\text{AC}]\) comme montré sur le schéma 1 qui n'est pas en vraie grandeur.

Schéma 1

1. Montrer que la longueur du câble \([\text{AC}]\) est égale à \(6{,}5 \text{ m}\).

2. Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{\text{ACB}}\) au degré près.

Deux araignées se trouvant au sommet du poteau (point \(\text{C}\)) rejoignent le bas du câble (point \(\text{A}\)) par deux chemins différents.

3. La première araignée se déplace le long du câble \([\text{AC}]\) à une vitesse de \(0{,}2 \text{ m/s}\).
Vérifier qu'il lui faut \(32{,}5\) secondes pour atteindre le bas du câble.

4. La deuxième araignée suit le chemin \(\text{CFHA}\) indiqué en pointillés sur le schéma 2 (qui n'est pas en vraie grandeur). Elle parcourt le morceau de câble \([\text{CF}]\), puis descend verticalement le long de \([\text{FH}]\) grâce à son fil et enfin se déplace sur le sol le long de \([\text{HA}]\).
Calculer les longueurs \(\text{FH}\) et \(\text{HA}\).

Schéma 2

5. La deuxième araignée se déplace à une vitesse de \(0{,}2 \text{ m/s}\) le long des segments \([\text{CF}]\) et \([\text{HA}]\), et descend le long du segment \([\text{FH}]\) à une vitesse de \(0{,}8 \text{ m/s}\).
Combien de temps lui faut-il pour atteindre le point A si elle ne fait pas de pause ?